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題目1:用篩選法求100 之內(nèi)的素?cái)?shù)。
解:
所謂"篩選法"指的是"埃拉托色尼(Eratosthenes)篩法"。埃拉托色尼是古希臘的著名數(shù)學(xué)家。他采取的方法是,在一張紙上寫上1~1000 的全部整數(shù),然后逐個(gè)判斷它們是否是素?cái)?shù),找出一個(gè)非素?cái)?shù),就把它挖掉,最后剩下的就是素?cái)?shù),見(jiàn)圖6.1。
具體做法如下∶
(1)先將1挖掉(因?yàn)?不是素?cái)?shù))。
(2)用2除它后面的各個(gè)數(shù),把能被2整除的數(shù)挖掉,即把2的倍數(shù)挖掉。
(3)用3除它后面各數(shù),把3 的倍數(shù)挖掉。
(4)分別用4,5…各數(shù)作為除數(shù)除這些數(shù)以后的各數(shù)。這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行到在除數(shù)后面的數(shù)已全被挖掉為止。例如在圖6.1中找1~50 的素?cái)?shù),要一直進(jìn)行到除數(shù)為 47為止。事實(shí)上,可以簡(jiǎn)化,如果需要找1~n 的素?cái)?shù),只須進(jìn)行到除數(shù)為 $ sqrt{n} $(取其整數(shù))即可,例如對(duì)1~50,只須進(jìn)行到將 $ sqrt{7} $ 作為除數(shù)即可。請(qǐng)讀者思考為什么。
上面的算法可表示為∶
(1)挖去1;
(2)用下一個(gè)未被挖去的數(shù) p 除 p 后面?zhèn)€數(shù),把 p 的倍數(shù)挖掉;
(3)檢查p是否小于 $ sqrt{n} $ 的整數(shù)部分(如果 n=1000,則檢查 p<31 是否成立),如果是,則返回(2)繼續(xù)執(zhí)行,否則就結(jié)束;
(4)剩下的數(shù)就是素?cái)?shù)。
用計(jì)算機(jī)解此題,可以定義一個(gè)數(shù)組 a。a[1]~a[n] 分別代表1~n這 n 個(gè)數(shù)。如果檢查出數(shù)組 a的某一元素的值是非素?cái)?shù),就使它變?yōu)?0,最后剩下不為 0 的就是素?cái)?shù)。
程序如下:
#include <stdio.h>
#include <math.h> //程序中用到求平方根函數(shù) sqrt
int main()
{
int i, j, n, a[101]; //定義a數(shù)組包含101個(gè)元素
for (i = 1; i <= 100; i++) // a[0]不用,只用a[1]~a[100]
a[i] = i; //使 a[1]~a[100]的值為1~100
a[1] = 0; //先"挖掉"a[1]
for (i = 2; i < sqrt(100); i++)
for (j = i + 1; j <= 100; j++)
{
if (a[i] != 0 && a[j] != 0)
if (a[j] % a[i] == 0)
a[j] = 0; //把非素?cái)?shù)“挖掉"
}
printf("
");
for (i = 2, n = 0; i <= 100; i++)
{
if (a[i] != 0) //選出值不為0的數(shù)組元素,即素?cái)?shù)
{
printf("%5d", a[i]); //輸出素?cái)?shù),寬度為5列
n++; //累積本行已輸出的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)
}
if (n == 10)
{
printf("
");
n = 0;
}
}
printf("
");
return 0;
}
運(yùn)行結(jié)果:
題目2:用選擇法對(duì)10個(gè)整數(shù)排序。
解:
選擇排序的思路為:設(shè)有10個(gè)元素 a[1]~a[10],將 a[1] 與 a[2]~a[10] 比較,若 a[1] 比 a[2]~a[10] 都小,則不進(jìn)行交換,即無(wú)任何操作。若 a[2]~a[10] 中有一個(gè)以上比 a[1] 小,則將其中最大的一個(gè)(假設(shè)為 a[i] )與 a[1] 交換,此時(shí) a[1] 中存放了10 個(gè)中最小的數(shù)。第 2 輪將 a[2] 與 a[3]~a[10] 比較,將剩下 9 個(gè)數(shù)中的最小者 a[i] 與 a[2] 對(duì)換,此時(shí)a[2] 中存放的是10 個(gè)中第二小的數(shù)。依此類推,共進(jìn)行 9 輪比較,a[1]~a[10] 就已按由小到大的順序存放了。N-S圖如圖6.2 所示。
程序如下∶
#include <stdio.h>
int main()
{
int i, j, min, temp, a[11];
printf("enter data:
");
for (i = 1; i <= 10; i++)
{
printf("a[%d]=", i);
scanf("%d", &a[i]); //輸人10個(gè)數(shù)
}
printf("
");
printf("The orginal numbers:
");
for (i = 1; i <= 10; i++)
printf("%5d", a[i]); //輸出這10個(gè)數(shù)
printf("
");
for (i = 1; i <= 9; i++) //以下8行是對(duì)10個(gè)數(shù)排序
{
min = i;
for (j = i + 1; j <= 10; j++)
if (a[min] > a[j])
min = j;
temp = a[i]; //以下3行將a[i+ 1]~a[10]中的最小值與a[i]對(duì)換
a[i] = a[min];
a[min] = temp;
}
printf("
The sorted numbers:
"); //輸出已排好序的10個(gè)數(shù)!
for (i = 1; i <= 10; i++)
printf("%5d", a[i]);
printf("
");
return 0;
}
運(yùn)行結(jié)果:
輸入10個(gè)數(shù)后,程序輸出結(jié)果。
題目3:求一個(gè) 3×3 的整型矩陣對(duì)角線元素之和。
解:
答案代碼:
#include <stdio.h>
int main()
{
int a[3][3], sum = 0;
int i, j;
printf("enter data:
");
for (i = 0; i < 3; i++)
for (j = 0; j < 3; j++)
scanf("%3d", &a[i][j]);
for (i = 0; i < 3; i++)
sum = sum + a[i][i];
printf("sum=%6d
", sum);
return 0;
}
運(yùn)行結(jié)果:
關(guān)于輸入數(shù)據(jù)方式的討論:
在程序的 scanf 語(yǔ)句中用"%d"作為輸入格式控制,上面輸入數(shù)據(jù)的方式顯然是可行的。其實(shí)也可以在一行中連續(xù)輸入9個(gè)數(shù)據(jù),如:
結(jié)果也一樣。在輸入完9個(gè)數(shù)據(jù)并按回車鍵后,這 9個(gè)數(shù)據(jù)被送到內(nèi)存中的輸入緩沖區(qū)中,然后逐個(gè)送到各個(gè)數(shù)組元素中。下面的輸入方式也是正確的:
或者
都是可以的。
請(qǐng)考慮,如果將程序第7~9行改為
for (j=0;j<3;j++)
scanf(" %d %d %d" , &a[0][j], &a[1][j],&a[2][j]);
應(yīng)如何輸入,是否必須一行輸入3個(gè)數(shù)據(jù),如:
答案是可以按此方式輸入,也可以不按此方式輸入,而采用前面介紹的方式輸入,不論分多少行、每行包括幾個(gè)數(shù)據(jù),只要求最后輸入完9個(gè)數(shù)據(jù)即可。
程序中用的是整型數(shù)組,運(yùn)行結(jié)果是正確的。如果用的是實(shí)型數(shù)組,只須將程序第4 行的 int 改為 float 或 double 即可,在輸入數(shù)據(jù)時(shí)可輸入單精度或雙精度的數(shù)。
題目4:有一個(gè)已排好序的數(shù)組,要求輸入一個(gè)數(shù)后,按原來(lái)排序的規(guī)律將它插入數(shù)組中。
解:
假設(shè)數(shù)組 a有n個(gè)元素,而且已按升序排列,在插入一個(gè)數(shù)時(shí)按下面的方法處理:
(1)如果插入的數(shù) num 比 a數(shù)組最后一個(gè)數(shù)大,則將插入的數(shù)放在 a數(shù)組末尾。
(2)如果插入的數(shù) num不比a數(shù)組最后一個(gè)數(shù)大,則將它依次和 a[0]~a[n-1] 比較,直到出現(xiàn) a[i] > num 為止,這時(shí)表示 a[0]~a[i-1] 各元素的值比 num 小,a[i] ~a[n-1] 各元素的值比 num 大。num理應(yīng)插到 a[i-1] 之后、a[i] 之前。怎樣才能實(shí)現(xiàn)此目的呢? 將 a[i]~a[n-1] 各元素向后移一個(gè)位置(即 a[i] 變成 a[i+1],…,a[n-1]變成 a[n] 。然后將 num 放在 a[i] 中。N-S圖如圖6.3所示。
答案代碼:
#include <stdio.h>
int main()
{
int a[11] = {1, 4, 6, 9, 13, 16, 19, 28, 40, 100};
int temp1, temp2, number, end, i, j;
printf("array a:
");
for (i = 0; i < 10; i++)
printf("%5d", a[i]);
printf("
");
printf("insert data:");
scanf("%d", &number);
end = a[9];
if (number > end)
a[10] = number;
else
{
for (i = 0; i < 10; i++)
{
if (a[i] > number)
{
temp1 = a[i];
a[i] = number;
for (j = i + 1; j < 11; j++)
{
temp2 = a[j];
a[j] = temp1;
temp1 = temp2;
}
break;
}
}
}
printf("Now aray a:
");
for (i = 0; i < 11; i++)
printf("%5d", a[i]);
printf("
");
return 0;
}
運(yùn)行結(jié)果:
題目5:將一個(gè)數(shù)組中的值按逆序重新存放。例如,原來(lái)順序?yàn)?,6,5,4,1。要求改為1,4,5,6,8。
解:
此題的思路是以中間的元素為中心,將其兩側(cè)對(duì)稱的元素的值互換即可。 例如,將5和9互換,將8和6互換。N-S圖見(jiàn)圖6.4。
答案代碼:
#include <stdio.h>
#define N 5
int main()
{
int a[N], i, temp;
printf("enter array a:
");
for (i = 0; i < N; i++)
scanf("%d", &a[i]);
printf("array a:
");
for (i = 0; i < N; i++)
printf("%4d", a[i]);
for (i = 0; i < N / 2; i++) //循環(huán)的作用是將對(duì)稱的元素的值互換
{
temp = a[i];
a[i] = a[N - i - 1];
a[N - i - 1] = temp;
}
printf("
Now,array a:
");
for (i = 0; i < N; i++)
printf("%4d", a[i]);
printf("
");
return 0;
}
運(yùn)行結(jié)果:
題目6:輸出以下的楊輝三角形(要求輸出 10行)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
解:
楊輝三角形是 $ (a+b)^n $ 展開(kāi)后各項(xiàng)的系數(shù)。例如:
$ (a+b)^0 $ 展開(kāi)后為 1,系數(shù)為1
$ (a+b)^1 $ 展開(kāi)后為 $ a+b $ ,系數(shù)為1,1
$ (a+b)^2 $ 展開(kāi)后為 $ (a2+2ab+b2) $ ,系數(shù)為1,2,1
$ (a+b)^3 $ 展開(kāi)后為 $ (a3+3a2b+3ab2+b3) $ ,系數(shù)為1,3,3,1
$ (a+b)^4 $ 展開(kāi)后為 $ (a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4) $ ,系數(shù)為1,4,6,4,1
以上就是楊輝三角形的前5 行。楊輝三角形各行的系數(shù)有以下的規(guī)律∶
(1)各行第1個(gè)數(shù)都是1。
(2)各行最后一個(gè)數(shù)都是1。
(3)從第3行起,除上面指出的第1個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)外,其余各數(shù)是上一行同列和前一列兩個(gè)數(shù)之和。例如,第4行第 2個(gè)數(shù)(3)是第3行第2個(gè)數(shù)(2)和第3行第1個(gè)數(shù)(1)之和。可以這樣表示∶
a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1]ij-1]
其中,i為行數(shù),,為列數(shù)。
答案代碼如下∶
#include <stdio.h>
#define N 10
int main()
{
int i, j, a[N][N]; //數(shù)組為10行10列
for (i = 0; i < N; i++)
{
a[i][i] = 1; //使對(duì)角線元素的值為1
a[i][0] = 1; //使第1列元素的值為1
}
for (i = 2; i < N; i++) //從第3 行開(kāi)始處理
for (j = 1; j <= i - 1; j++)
a[i][j] = a[i - 1][j - 1] + a[i - 1][j];
for (i = 0; i < N; i++)
{
for (j = 0; j <= i; j++)
printf("%6d", a[i][j]); // 輸出數(shù)組各元素的值
printf("
");
}
printf("
");
return 0;
}
說(shuō)明:數(shù)組元素的序號(hào)是從 0 開(kāi)始算的,因此數(shù)組中 0 行 0 列的元素實(shí)際上就是楊輝三角形中第 1 行第 1 列的數(shù)據(jù),余類推。
運(yùn)行結(jié)果:
題目7:輸出"魔方陣"。所謂魔方陣是指這樣的方陣,它的每一行、每一列和對(duì)角線之和均相等。例如,三階魔方陣為
8 1 6
3 5 7
4 9 2
要求輸出 1~n2 的自然數(shù)構(gòu)成的魔方陣。
解:魔方陣中各數(shù)的排列規(guī)律如下∶
(1)將 1 放在第 1 行中間一列。
(2)從 2 開(kāi)始直到 n×n 止,各數(shù)依次按此規(guī)則存放:每一個(gè)數(shù)存放的行比前一個(gè)數(shù)的行數(shù)減 1 ,列數(shù)加 1(例如上面的三階魔方陣,5 在 4的上一行后一列)。
(3)如果上一數(shù)的行數(shù)為 1,則下一個(gè)數(shù)的行數(shù)為 n(指最下一行)。例如,1 在第 1 行,則 2 應(yīng)放在最下一行,列數(shù)同樣加 1。
(4)當(dāng)上一個(gè)數(shù)的列數(shù)為 n 時(shí),下一個(gè)數(shù)的列數(shù)應(yīng)為 1,行數(shù)減 1。例如,2 在第 3 行最后一列,則 3 應(yīng)放在第 2 行第 1 列。
(5)如果按上面規(guī)則確定的位置上已有數(shù),或上一個(gè)數(shù)是第 1 行第 n 列時(shí),則把下一個(gè)數(shù)放在上一個(gè)數(shù)的下面。例如,按上面的規(guī)定,4 應(yīng)該放在第 1 行第 2 列,但該位置已被 1 占據(jù),所以 4 就放在 3 的下面。由于 6 是第 1 行第 3 列(即最后一列),故 7 放在 6 下面。
按此方法可以得到任何階的魔方陣。
N-S圖如圖6.5所示。
答案代碼:
#include <stdio.h>
int main()
{
int a[15][15], i, j, k, p, n;
p = 1;
while (p == 1)
{
printf("enter n(n= 1--15) : "); //要求階數(shù)為1~15 的奇數(shù)
scanf("%d", &n);
if ((n != 0) && (n <= 15) && (n % 2 != 0))
p = 0;
}
//初始化
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 1; j <= n; j++)
a[i][j] = 0;
//建立魔方陣
j = n / 2 + 1;
a[1][j] = 1;
for (k = 2; k <= n * n; k++)
{
i = i - 1;
j = j + 1;
if ((i < 1) && (j > n))
{
i = i + 2;
j = j - 1;
}
else
{
if (i < 1)
i = n;
if (j > n)
j = 1;
}
if (a[i][j] == 0)
a[i][j] = k;
else
{
i = i + 2;
j = j - 1;
a[i][j] = k;
}
}
//輸出魔方陣
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = 1; j <= n; j++)
printf("%5d", a[i][j]);
printf("
");
}
return 0;
}
說(shuō)明:魔方陣的階數(shù)應(yīng)為奇數(shù)。
運(yùn)行結(jié)果:
題目8:找出一個(gè)二維數(shù)組中的鞍點(diǎn),即該位置上的元素在該行上最大、在該列上最小。也可能沒(méi)有鞍點(diǎn)。
解:一個(gè)二維數(shù)組最多有一個(gè)鞍點(diǎn),也可能沒(méi)有。解題思路是∶先找出一行中值最大的元素,然后檢查它是否為該列中的最小值,如果是,則是鞍點(diǎn)(不需要再找別的鞍點(diǎn)了),輸出該鞍點(diǎn); 如果不是,再找下一行的最大數(shù)……如果每一行的最大數(shù)都不是鞍點(diǎn),則此數(shù)組無(wú)鞍點(diǎn)。
答案代碼:
#include <stdio.h>
#define N 4
#define M 5 //數(shù)組為4行5列
int main()
{
int i, j, k, a[N][M], max, maxj, flag;
printf("please input matrix:
");
for (i = 0; i < N; i++) //輸人數(shù)組
for (j = 0; j < M; j++)
scanf("%d", &a[i][j]);
for (i = 0; i < N; i++)
{
max = a[i][0]; //開(kāi)始時(shí)假設(shè) a[i][0]最大
maxj = 0; //將列號(hào)0賦給 maxj保存
for (j = 0; j < M; j++) //找出第i行中的最大數(shù)
if (a[i][j] > max)
{
max = a[i][j]; //將本行的最大數(shù)存放在max中
maxj = j; //將最大數(shù)所在的列號(hào)存放在 maxj中
}
flag = 1; //先假設(shè)是鞍點(diǎn),以flag 為1代表
for (k = 0; k < N; k++)
if (max > a[k][maxj]) //將最大數(shù)和其同列元素相比
{
flag = 0; //如果 max不是同列最小,表示不是鞍點(diǎn),令flag1為0
continue;
}
if (flag) //如果flagl為1表示是鞍點(diǎn)
{
printf("a[%d][%d]=%d
", i, maxj, max); //輸出鞍點(diǎn)的值和所在行列號(hào)
break;
}
}
if (!flag) //如果 flag 為0表示鞍點(diǎn)不存在
printf("It is not exist!
");
return 0;
}
運(yùn)行結(jié)果:
①
第 2~5行是輸入的數(shù)據(jù),最后一行是輸出的結(jié)果。
②
(無(wú)鞍點(diǎn))
題目9:有15個(gè)數(shù)按由大到小順序存放在一個(gè)數(shù)組中,輸入一個(gè)數(shù),要求用折半查找法找出該數(shù)是數(shù)組中第幾個(gè)元素的值。如果該數(shù)不在數(shù)組中,則輸出"無(wú)此數(shù)"。
解:從表列中查一個(gè)數(shù)最簡(jiǎn)單的方法是從第 1 個(gè)數(shù)開(kāi)始順序查找,將要找的數(shù)與表列中的數(shù)一一比較,直到找到為止(如果表列中無(wú)此數(shù),則應(yīng)找到最后一個(gè)數(shù),然后判定"找不到")。
但這種"順序查找法"效率低,如果表列中有 1000個(gè)數(shù),且要找的數(shù)恰恰是第 1000 個(gè)數(shù),則要進(jìn)行 999 次比較才能得到結(jié)果。平均比較次數(shù)為500次。
折半查找法是效率較高的一種方法?;舅悸啡缦拢?/p>
假如有已按由小到大排好序的9個(gè)數(shù),a[1]~a[9],其值分別為
1,3,5,7,9,11,13,15,17
若輸入一個(gè)數(shù) 3,想查 3 是否在此數(shù)列中,先找出表列中居中的數(shù),即 a[5],將要找的數(shù) 3 與a[5] 比較,今[a5] 的值是 9,發(fā)現(xiàn) a[5]>3,顯然 3 應(yīng)當(dāng)在 a[1]~a[5]這部分,而不會(huì)在a[6]~a[9]這部分。這樣就可以縮小查找范圍,甩掉 a[6]~a[9] 這部分,即將查找范圍縮小為一半。再找a[1]~a[5]的居中的數(shù),即 a[3],將要找的數(shù) 3 與 a[3]比較,a[3]的值是 5,發(fā)現(xiàn) a[3]>3,顯然3應(yīng)當(dāng)在 a[1]~a[3]這部分。這樣又將查找范圍縮小一半。再將 3 與 a[1]~a[3] 的居中的數(shù) a[2]比較,發(fā)現(xiàn)要找的數(shù) 3 等于 a[2],查找結(jié)束。一共比較了3 次。如果表列中有 n 個(gè)數(shù),則最多比較的次數(shù)為 $ int(log_2n) +1 $ 。
N-S圖如圖6.6所示。
答案代碼:
#include <stdio.h>
#define N 15
int main()
{
int i, number, top, bott, mid, loca, a[N], flag = 1, sign;
char c;
printf("enter data:
");
scanf("%d", &a[0]); //輸入第1個(gè)數(shù)
i = 1;
while (i < N) //檢查數(shù)是否已輸入完畢
{
scanf("%d", &a[i]); //輸入下一個(gè)數(shù)
if (a[i] >= a[i - 1]) //如果輸人的數(shù)不小于前一個(gè)數(shù)
i++; //使數(shù)的序號(hào)加 1
else
printf("enter this data again:
"); //要求重新輸入此數(shù)
}
printf("
");
for (i = 0; i < N; i++)
printf("%5d", a[i]); // 輸出全部15個(gè)數(shù)
printf("
");
while (flag)
{
printf("input number to look for:"); //問(wèn)你要查找哪個(gè)數(shù)
scanf("%d", &number); //輸入要查找的數(shù)
sign = 0; // sign為0表示尚未找到
top = 0; // top 是查找區(qū)間的起始位置
bott = N - 1; // bott是查找區(qū)間的最末位置
if ((number < a[0]) || (number > a[N - 1])) //要查的數(shù)不在查找區(qū)間內(nèi)
loca = -1; //表示找不到
while ((!sign) && (top <= bott))
{
mid = (bott + top) / 2; //找出中間元素的下標(biāo)
if (number == a[mid]) //如果要查找的數(shù)正好等于中間元素
{
loca = mid; //記下該下標(biāo)
printf("Has found %d,its position is %d
", number, loca + 1); //由于下標(biāo)從0算起,而人們習(xí)慣從1算起,因此輸出數(shù)的位置要加1
sign = 1; //表示找到了
}
else if (number < a[mid]) //如果要查找的數(shù)小于中間元素的值
bott = mid - 1; //只須在下標(biāo)為0~mid-1的元素中找
else //如果要查找的數(shù)不小于中間元素的值
top = mid + 1;
} //只須在下標(biāo)為 mid+1~bott的元素中找
if (!sign || loca == -1) // sign為0或 loca等于—1,意味著找不到
printf("cannot find %d.
", number); //輸出"找不到"
printf("continue or not(Y/N)?"); //問(wèn)你是否繼續(xù)查找
scanf("%c", &c); //不想繼續(xù)查找輸入'N'或'n'
if (c == 'N' || c == 'n')
flag = 0; // lag 為開(kāi)關(guān)變量.控制程序是否結(jié)束運(yùn)行
}
return 0;
}
運(yùn)行結(jié)果:
以上運(yùn)行情況是這樣的∶開(kāi)始輸入3 個(gè)數(shù),由于順序不是由小到大,程序不接收,要求重新輸入。再輸入15個(gè)數(shù),然后程序輸出這 15 個(gè)數(shù),供核對(duì)。程序詢問(wèn)要找哪個(gè)數(shù),輸入7,輸出"找不到7"。問(wèn)是否繼續(xù)找數(shù),回答y表示 yes,再問(wèn)找哪個(gè)數(shù),輸入12,輸出"找到了。它是第7個(gè)數(shù)"。
題目10:有一篇文章,共有3行文字,每行有 80個(gè)字符。要求分別統(tǒng)計(jì)出其中英文大寫字母、小寫字母、數(shù)字、空格以及其他字符的個(gè)數(shù)。
解:N-S圖如圖6.7所示。
答案代碼:
#include <stdio.h>
int main()
{
int i, j, upp, low, dig, spa, oth;
char text[3][80];
upp = low = dig = spa = oth = 0;
for (i = 0; i < 3; i++)
{
printf("please input line %d:
", i + 1);
gets(text[i]);
for (j = 0; j < 80 && text[i][j] != '